Formální logika

A ∧ B - Prší a zároveň svítí slunce. - Tento výrok je nepravdivý pokud je alespoň jedno tvrzení nepravdivé.

A ∨ B - Na kostce padne sudé nebo liché číslo. - Výrok by byl nepravdivý, kdyby nenastala ani jedna možnost.

A ⇒ B - Když ráno přestane pršet, tak pojedeme určitě na výlet. - Pokud je pravdivé A, tak bude pravdivé i B, ale B může být pravdivé, i když nebude pravdivé A (prší, ale přesto pojedeme) celý výrok zůstává pravdivým. Jediný případ, kdy je výrok nepravdiví je, kdyby přestalo pršet a my nejeli na výlet.

A ⇔ B - Pojedeme na výlet právě tehdy, když nebude pršet. Výrok je pravdivý, když jsou oba výroky stejné, buď pravdivé nebo nepravdivé. Neprší a jedeme. Prší a nejedeme. 

Negace (Platí zároveň A a zároveň B) je ekvivalentní s (buď neplatí A a nebo neplatí B)

Negace (Platí A a nebo platí B) je ekvivalentní s tvrzením (neplatí A a zároveň neplatí B)

Když se stane A tak potom se stane B (implikace) je ekvivalentní s (Buď se nestane A a nebo se stane B

(Jde o to formalním způsobem emulovat hodnoty tabulky, nemusí to nutně být vyjádřitelní přirozenou řečí)

Třetí ví, že si všichni dají pivo proto, že kdyby si nějakdo z nich pivo dát nechtěl, věděl by, že si všichni pivo nedají a mohl by to říci, ale zároveň první dva logici nevěděli, jestli si třetí dá pivo a tak museli říct "nevím".

Postup na vyvrácení argumentace: 1) Přijmeme všechny předpoklady za pravdivé. 2) Popřeme závěr. 3) Popíšeme situaci (třeba i hypotetickou), za které jsou všechny předpoklady pravdivé, ale závěr nikoliv. - Nelze-li argumentaci vyvrátit, je to platná argumentace.

Příklad situace během "covidu": 

"Kdybychom všichni nenosili respirátory a nedodržovali všechna daná nařízení, zemřelo by mnohem více lidí."

Argumentace - nenošení respírátů a nedodržování nařízení implikuje mnohem více mrtvích.

Vyvrácení argumentace. Ve Švédsku a na jiných místech byla tato nařízení mnohem volnější, někde se i nošení respirátorů naopak nedoporučovalo a k výraznějšímu počtu úmrtí nedošlo.

Argumentace je vyvrácena.

(A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B - Pokud platí A a zároveň z A plyne B, tak musí platit i B.

A ⇒ B - Když přestane pršet, pojedeme na výlet.

¬ A ⇒ ¬ B (inverze) - Když nepřestane pršet, nepojedeme na výlet.

¬ B ⇒ ¬ A (kontrapozice)  - Když nepojedeme na výlet, tak nepřestane pršet.

Tautologie

(A ⇒ B)  ⇔  (¬ B ⇒ ¬ A) - Nejeli jsme na výlet, jediný důvod mohl být ten, že nepřestalo pršet.

(B ⇒ A)  ⇔  (¬ A ⇒ ¬ B) - Když pojedeme na výlet, tak to znamená, že přestalo pršet. To je ekvivalentní s tvrzením: Pokud nepřestalo pršet, nejeli jsme na výlet.

Tyto logické formule jsou obecně platné - vždy pravdivé - tzv. tautologie. Jiné příklady vždy pravdivých výrazů:

(A ∧ B) ⇔ (B ∧ A) - komutativita konjunkce

A ∨ ¬ A - věta o vyloučení třetího

De Morganovi zákony

¬ (A ∧ B) ⇔ (¬ A ∨ ¬ B) - Neplatí, že prší a zároveň svítí slunce. To je ekvivalentní s: Buď neprší a nebo nesvítí slunce

¬ (A ∨ B) ⇔ (¬ A ∧ ¬ B)  - Neplatí tvrzení, že buď prší nebo svítí slunce. ⇔ Neprší a nesvítí slunce.

¬ (¬ A ∧ ¬ B) - věta o vyloučeném sporu

(¬ A ⇒ A ) ⇒ A - Pokud to že neprší implikuje, že prší, tak tedy prší. (reductio ad absurdum)

Nezáleží na konkrétních výrocích, ale na dodržení formálních pravidel, je to jako algebra s neznámými reprezentovanými proměnnou x, y..

Pokud negujeme logické zákony (tautologii) dostaneme vždy nepravdu - tzv. kontradikci.

Přepisování logických operátorů na NAND (not and)

Tato logická spojka vrací nepravdu pouze tehdy, když jsou oba výroky pravdivé. Pomocí této spojky lze nahradit všechny logické operátory včetně negace. ¬ A lze zapsat jako (A nand A). Převedení de Morganova zákona na čisté nand operátory:

¬ (A ∧ B) ⇔ (¬ A ∨ ¬ B)  ⇔  ..

.. ⇔  [((A nand A) nand (B nand B)) nand ((A nand A) nand (B nand B))] nand [(A nand B) nand (A nand B)]

Logika je jednoduchá, postupuje se tak, aby se zachovala pravdivostní hodnota tabulky. Například pokud je disjunkce nepravdivá pouze v případě, že jsou oba prvky ve spojení nepravdivé, tak oba prvky znegujeme ¬A nand ¬B - v případě pravdy obou výroků se oba výroky otočí na nepravdu a nand vrátí pravdu. To je ekvivalentní tomu, jak funguje disjunkce. Pokud převedeme také negaci na nand dostaneme: (A nand A) nand (B nand B) ⇔ A ∨ B.